contest stringclasses 315 values | contest_url stringclasses 1 value | url stringlengths 53 65 | alphabet stringclasses 20 values | name stringlengths 9 17 | score stringclasses 10 values | correct int64 0 467 | total int64 0 485 | editorials listlengths 1 6 | task_content stringlengths 28 1.49k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
OMCE012 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/tasks/9853 | A | OMCE012(A) | 300 | 117 | 181 | [
{
"content": " 素数 $p$ が $a-b$ および\r\n$$G = \\gcd \\left(\\displaystyle\\sum_{i=0}^{n} a^ib^{n-i}, (a-b)^{3} \\right)$$ \r\nを割り切るとする．$a$ と $b$ は互いに素なのでどちらも $p$ の倍数ではなく，また\r\n$$ 0 \\equiv \\displaystyle\\sum_{i=0}^{n} a^ib^{n-i} \\equiv (n+1) a^n \\pmod{p} $$\r\nより，$p$ は $n+1$ の素因数，すなわち $p \\in \\\\{ 3, 7, 11, 13... | $n=999999^{10}-1$ とします．互いに素な正整数 $a \gt b$ を用いて，
$$\gcd \left(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} a^ib^{n-i}, (a-b)^{3} \right)$$
と表すことのできる正整数はいくつありますか． |
OMCE012 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/tasks/11868 | B | OMCE012(B) | 400 | 60 | 137 | [
{
"content": " $O$ を中心に反転すると，各球面 $S_m$ は $O$ を含まない平面へと移る．これらの平面によって分けられる各領域に含まれる $P_i$ が高々 $1$ つとなるようにするために必要な平面の個数の最小値が $f(P_1, P_2, \\ldots, P_{10000})$ である． \r\n- $f(P_1, P_2, \\ldots, P_{10000})$ の最大値 \r\n どのように $P_1, P_2, \\ldots, P_{10000}$ が配置されていても，平行な $9999$ 個の平面があれば分離できる．一方で，$P_1, P_2, \\ldots, P_{... | 点 $O$ を含む空間内に $10000$ 個の相異なる $O$ でない点 $P_1,\ldots,P_{10000}$ をとると，$O$ を通る $n$ 個の球面 $S_1,\ldots,S_n$ が以下をともに満たしました．
- $n$ 個のどの球面上にも $P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ は存在しない．
- 任意の $1$ 以上 $10000$ 以下の異なる $2$ 整数 $i,j$ に対して，ある $1$ 以上 $n$ 以下の整数 $m$ が存在し，$P_i$ と $P_j$ のうちちょうど一方が $S_m$ の内側，もう一方が $S_m$ の外側に存在する．
$P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ の配置ごとに $n$ の最小値が定まるので，これを $f(P_1, P_2, \ldots, P_{10000})$ とおきます．$P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ の配置を動かすとき，$f(P_1, P_2, \ldots, P_{10000})$ の最大値と最小値の和を求めてください． |
OMCE012 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/tasks/8688 | C | OMCE012(C) | 400 | 86 | 121 | [
{
"content": " 一般に $1111$ を整数 $n\\geq 2$ におきかえ，$S$ にあたるものを $S(n)$ とおく．正整数 $k \\le n$ について，\r\n$$ \\min_{1 \\le i \\le n-1} \\max_{} (p_i, p_{i+1}) \\ge k \\tag{☆}$$\r\nをみたす並べ替えの個数を $h(n, k)$ とするとき，\r\n$$S(n) = \\sum_{k=1}^n h(n, k)$$\r\nとなる．ここで条件 (☆) は，「$\\\\{ 1, 2, \\ldots, k-1 \\\\}$ の元どうしが隣接しない」と言いかえられるので，$2... | $1111!$ 個の $(1, 2, \ldots, 1111)$ の並べ替え $(p_1, p_2, \ldots, p_{1111})$ すべてについて，
$$\displaystyle \min_{1 \le i \le 1110} \max\\{p_i, p_{i+1}\\}$$
を足し合わせたものを $S$ とします．このとき，$k!$ が $S$ を割りきるような最大の正整数 $k$ を求めてください．\
ただし，実数 $a, b$ について $\max \\{ a, b \\}$ で $a, b$ の最大値を表し，実数 $a_1, a_2, \ldots, a_{1110}$ について $\displaystyle \min_{1 \le i \le 1110} a_i$ で $a_1, a_2, \ldots, a_{1110}$ の最小値を表します． |
OMCE012 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/tasks/12137 | D | OMCE012(D) | 600 | 33 | 74 | [
{
"content": " $2a-1$ は奇数なので $d(ab(ab+4a+1))$ も奇数，つまり $ab(ab+4a+1)$ は平方数である．\r\n$$(ab)^2\\lt ab(ab+4a+1)\\lt (ab+2a+1)^2$$\r\nより，$0\\leq k\\leq 2a-1$ なる整数 $k$ を用いて\r\n$$ab(ab+4a+1)=(ab+2a-k)^2$$\r\nと表せる．これを $b$ について整理すると\r\n$$b=\\frac{(2a-k)^2}{(2k+1)a}$$\r\nとなり\r\n$$\\frac{(2a-k)^2}{a}=4a-4k+\\dfrac{k^2}{a}$$\... | 正の整数 $n$ の正の約数の個数を $d(n)$ で表します．$2$ つの $1500$ 以下の正の整数の組 $(a, b)$ であって，以下の条件を満たすものすべてについて，$a+b$ の総和を答えてください．
- $d(a)=4$
- $d(a^2b^2+4a^2b+ab)$ は $2a-1$ を割り切る |
OMCE012 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/tasks/7410 | E | OMCE012(E) | 600 | 14 | 35 | [
{
"content": " 三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $DEF$ の外接円，つまり三角形 $ABC$ の九点円との根軸を $l$ とすると\r\n$$AP\\cdot BP=DP\\cdot EP, \\quad AQ\\cdot CQ=DQ\\cdot FQ$$\r\nより $P,Q$ はどちらも $l$ 上にあるので，$l$ は直線 $PQ$ と一致する．よって，三角形 $ABC$ の九点円の中心を $N$ とすると $N$ は 線分 $OH$ の中点であることから $PQ\\perp OH$ なので，$l \\parallel HM$ とあわせて $\\angle OHM=90^\\circ$ が... | どの $2$ 辺の長さも等しくない鋭角三角形 $ABC$ の外心，垂心をそれぞれ $O, H$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．$A, B, C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ とし，直線 $DE$ と直線 $AB$ の交点を $P$，直線 $DF$ と直線 $AC$ の交点を $Q$ とすると，
$$ EF = 20, \quad AH = 25, \quad PQ \parallel HM $$
が成り立ちました．直線 $PQ$ と直線 $OH$ との交点を $R$ するとき，線分 $OR$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください． |
OMCE012 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/tasks/11840 | F | OMCE012(F) | 700 | 11 | 38 | [
{
"content": " $N = 15012, ~ f(x)=x^4-5x^3-20x+16$ とおく．\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=1}^{4N} \\sum_{l=0}^{k-1} 2^{k+l}a_ka_l &= \\frac{1}{2}\\Bigg(\\bigg(\\sum_{k=0}^{4N} 2^ka_k\\bigg)^2-\\sum_{k=0}^{4N} (2^ka_k)^2\\Bigg)\\\\\\\\\r\n&= \\frac{1}{2}\\bigg(f(2)^{2N}-\\sum_{k=0}^{4N} 4^ka_k^2\\bigg)\\\\\\... | $0$ 以上の整数 $n$ について，$(x^4-5x^3-20x+16)^{15012}$ の $x^n$ の係数を $a_n$ とします（ただし $a_0$ は定数項とします）．このとき，
$$
\sum_{k=1}^{60048} \sum_{l=0}^{k-1} 2^{k+l}a_ka_l
$$
を素数 $10007$ で割った余りを求めてください． |
OMCB034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/tasks/11848 | A | OMCB034(A) | 100 | 199 | 277 | [
{
"content": " $x=-a+b+c, ~ y=a-b+c, ~ z=a+b-c$ とおくと $x,y,z$ は偶奇が一致し，与式より特に全て正の偶数である．逆に $xyz=2^{100}$ を満たす正の偶数の組 $(x,y,z)$ に対して\r\n$$(a,b,c)=\\Big( \\frac{y+z}{2},\\frac{z+x}{2},\\frac{x+y}{2}\\Big)$$\r\nは与式を満たす．よって求める組の個数は ${}\\_{99}\\mathrm{C}\\_{2}=\\mathbf{4851}$ である．",
"text": "公式解説",
"url": "https... | 次の式を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつありますか？
$$(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=2^{100}$$ |
OMCB034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/tasks/10441 | B | OMCB034(B) | 200 | 255 | 284 | [
{
"content": " $1234_{(n)} \\lt 1331_{(n)}$ より，$n^3 \\lt 1234_{(n)} \\lt (n+1)^3$ ．\\\r\n 従って，$n+1=3^7$ のときが求めるべき $n$ である．よって，$n=3^7-1=\\mathbf{2186}$．",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/10441"
}
] | $n$ を $5$ 以上の整数とします．次の不等式をみたす最大の $n$ を求めてください
$$1234_{(n)} \lt 3^{21}$$
なお，$1234_{(n)}$ は $n$ 進法表記を意味し，右辺は $10$ 進法で書かれています． |
OMCB034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/tasks/10322 | C | OMCB034(C) | 200 | 204 | 241 | [
{
"content": " $AB \\parallel DC$ と $\\angle{ABE} = \\angle{EBC}$ から $\\angle{EBC} = \\angle{CEB}$ がわかり，$BC = CE = AE$ となるから，四角形 $ABCE$ は等脚台形であり，$A,B,C,E$ は共円である．\\\r\n $\\angle DAE = 4\\theta$ とおくと，\r\n$$ 180^\\circ = \\angle BAE + \\angle BCD = 2 \\angle BCD - 4\\theta $$\r\nより $\\angle BCD = 90^\\circ + 2\\t... | $AB \gt BC$ かつ $\angle{ABC} \lt 90^\circ$ なる平行四辺形 $ABCD$ において，$\angle{ABC}$ の内角の二等分線と辺 $CD$ が点 $E$ で交わり，次が成立しました．
$$AE = CE，\angle{AEB} = 4\angle{DAE}$$
このとき，$\angle{ABC}$ の大きさは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\Bigl(\dfrac{a}{b}\Bigr)^\circ$ と表せるので，$a + b$ の値を解答してください． |
OMCB034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/tasks/11960 | D | OMCB034(D) | 300 | 74 | 139 | [
{
"content": " 箱を $1$ つ選んで $A$ とする．問題の条件を満たす玉の入れ方のうち，$A$ に赤玉を入れるものの総数を $M^{\\prime}$ とする. $M=3M^{\\prime}$ である．\\\r\n 反時計回りに見て，色の変化は「赤→青→白→赤→ $\\cdots$ 」の順にしか起こり得ない．したがって，隣りあう箱の組それぞれについて色が変化するかしないかを指定すれば，それを満たす玉の入れ方は高々 $1$ つに定まる．指定した変化をする玉の入れ方が存在するためには，$A$ から一周して $A$ に戻ってきたときに赤色であること，すなわち変化の回数が $3$ の倍数であることが必要十... | $2000$ 個の箱が円形に並んでいます．
各箱に赤玉，青玉，白玉のうちいずれか $1$ つを入れる方法であって，反時計回りに見たときに
- 赤玉が入っている箱の次の箱には赤玉か青玉が入っている
- 青玉が入っている箱の次の箱には青玉か白玉が入っている
- 白玉が入っている箱の次の箱には白玉か赤玉が入っている
を満たすものの総数を $M$ とします．ただし，回転，反転して一致する入れ方も区別します．$M$ を素数 $2003$ で割った余りを求めてください． |
OMCB034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/tasks/11929 | E | OMCB034(E) | 300 | 63 | 92 | [
{
"content": " $n \\geq 1$ に対して，\r\n\r\n$$a_{n+1} + 2b_{n+1} = {a_n}^2 + 4{b_n}^2 + 4a_n b_n = (a_n + 2b_n)^2$$\r\n\r\n及び\r\n\r\n$$a_{n+1} - b_{n+1} = {a_n}^2 + {b_n}^2 - 2a_n b_n = (a_n - b_n)^2$$\r\n\r\nが分かる．これより，$a_1 + 2b_1 = 7, \\ a_1 - b_1 = 1$ と合わせて，$a_{100} + 2b_{100} = 7^{2^{99}}, \\ a_{100} - b_{100} ... | 整数列 $\lbrace a_n \rbrace, \ \lbrace b_n \rbrace$ が以下の漸化式を満たしています．
- $a_1 = 3, \ b_1 = 2$
- $a_{n+1} = a_n^2 + 2b_n^2 \quad (n \geq 1)$
- $b_{n+1} = b_n^2 + 2a_n b_n \quad (n \geq 1)$
このとき，$b_{100}$ の値を素数 $1021$ で割った余りを解答してください． |
OMCB034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/tasks/7534 | F | OMCB034(F) | 400 | 33 | 64 | [
{
"content": " $\\gamma$ と辺 $BC$ の接点を $D$ とし，直線 $AD$ と $\\Omega$ の交点のうち $A$ でない方を $E$ とおくと次が成り立つ．\r\n$$BE=CE$$\r\n<details><summary> 証明<\\/summary>\r\n $\\gamma$ と $\\Omega$ は点 $A$ を中心に相似なので $D$ における $\\gamma$ の接線，すなわち直線 $BC$ と $E$ における $\\Omega$ の接線は平行である．したがって $BE=CE$ が成り立つ．$\\square$\r\n<\\/details>\r\n特にこの長... | $\Omega$ を外接円に持つ三角形 $ABC$ は $\angle BAC=120^\circ$ を満たしています．また，円 $\gamma$ は $\Omega$ に $A$ で**内接**し，さらに辺 $BC$ に接しています．$\Omega$ の半径が $121$，$\gamma$ の半径が $21$ であるとき三角形 $ABC$ の内接円の半径を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください. |
OMC240 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/tasks/9497 | A | OMC240(A) | 200 | 234 | 280 | [
{
"content": " $k=\\sqrt{m+n}$ とおき，$n=k^2-m$ として条件を $k,m$ によって書きかえれば，\r\n$$ k+m^2 = k^2-m-40\\iff (k+m)(k-m-1)=40$$\r\nとなる．$k\\pm m$ の偶奇が一致することに注意して探索すれば，\r\n$$(k+m,k-m)=(8,6),(40,2) \\iff (m,n)=(1,48),(19,422)$$\r\nが解として得られる．特に，求める値は $48+8018=\\mathbf{8066}$ である．",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlin... | 以下をみたす正整数の組 $(m,n)$ すべてについて，$mn$ の総和を求めてください．
$$
\sqrt{m+n}+m^2=n-40
$$ |
OMC240 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/tasks/11602 | B | OMC240(B) | 200 | 150 | 208 | [
{
"content": " 対称性より $BE=CE=2$ である．また $\\angle BAE=\\angle CAE$ より，角の二等分線定理から\r\n $$\r\nAD:AC=DE:CE=9:2\r\n $$ \r\nであるので，ある正実数 $x$ により $AB=AC=2x, ~ BD=7x$ とおける．方べきの定理より，\r\n $$\r\n11^2=DC^2 = DB \\cdot DA = 7x \\cdot 9x\r\n $$\r\nなので， $x^2=\\dfrac{121}{63}$ となる．さらに Stewart の定理より，角の二等分線の長さ $AE^2$ は以下のようにして求められる... | $AB=AC$ なる鋭角二等辺三角形 $ABC$ の外接円に $C$ で接する接線と直線 $AB$ との交点を $D$ とします．$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線が線分 $CD$ と点 $E$ で交わっており，
$$
BE=2,\quad DE=9
$$
が成り立つとき，線分 $AE$ の長さを求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\sqrt\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください． |
OMC240 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/tasks/12342 | C | OMC240(C) | 300 | 121 | 149 | [
{
"content": " 正整数 $n$ に対して，その正の約数の個数を $d(n)$ で表す．\r\n$$x^2+n=(x+n)(x-n)+n(n+1)$$\r\n$$y^2-n=(y-n)(y+n)+n(n-1)$$\r\nより，$f(n)$ は $n$ より大きい $n(n+1)$ の正の約数の個数に等しく，これは $n$ 以下の $n(n+1)$ の正の約数の個数に等しいので，$2f(n)=d(n(n+1))$ がしたがう．また，$g(n)=d(n(n-1))$ である．したがって与式は次のように計算される．\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{n=2}^{2024}\\Big... | $2$ 以上の整数 $n$ に対して関数 $f(n),g(n)$ を次のように定めます．
- 正整数 $x$ であって，$x+n$ が $x^2+n$ を割り切るものは有限個であるので，その個数を $f(n)$ とする．
- $n$ より大きい整数 $y$ であって，$y-n$ が $y^2-n$ を割り切るものは有限個であるので，その個数を $g(n)$ とする．
このとき次の値を求めてください．
$$\sum_{n=2}^{2024}\Big(2f(n)-g(n)\Big)$$ |
OMC240 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/tasks/10345 | D | OMC240(D) | 400 | 39 | 104 | [
{
"content": " $q_n=p_{p_n}$ とする．頂点 $1,2,…,13$ に対して，各 $n$ について $n$ から $q_n$ への有向辺を張った有向グラフを $G$ とする． $G$ はいくつかの自己ループでないサイクルからなり，以下の事実が成り立つ．\r\n\r\n- 任意のサイクルに対して，そのサイクル上の頂点を小さい順にそれぞれ $a_1,a_2,…,a_m$ とすると，これらはどの隣り合う二数も差が $1$ であり，\r\n$$q_{a_1}=a_2, \\quad q_{a_2}=a_3, \\quad …, \\quad q_{a_{m-1}}=a_m, \\quad q_{a_... | $1,2,…,13$ の順列 $p_1, p_2, \ldots, p_{13}$ であって以下が成り立つようなものはいくつありますか．
- $13$ 以下の任意の正整数 $n$ について，$p_{p_n}$ は $n-1$ 以下であるか，または $n+1$ に等しい． |
OMC240 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/tasks/8773 | E | OMC240(E) | 500 | 8 | 25 | [
{
"content": " 頂点 $A, B, C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $X, Y, Z$ とする．\\\r\n このとき，$\\angle HXM = \\angle HPM = 90^\\circ$ であるから $4$ 点 $H, M, P, X$ は同一円周上にある．また，$4$ 点の組 $(B, H, X, Z)$, $(B, C, Y, Z)$ もそれぞれ同一円周上にあるので，方べきの定理より\r\n$$AP\\cdot AM = AH\\cdot AX = AB\\cdot AZ = AC\\cdot AY$$\r\nが成り立つ．これと中線定理より，\r\n$$\\begin{ali... | 鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外接円を $\omega$ とします．辺 $BC$ の中点を $M$ とし， $H$ から直線 $AM$ におろした垂線の足を $P$ とします． $\omega$ の $A$ を含まない弧 $BC$ 上に直線 $BC$ と $PQ$ が直交するような点 $Q$ をとり，直線 $AQ$ と $BC$ の交点を $D$，直線 $AC$ と $BP$ の交点を $E$，直線 $CQ$ と $DE$ の交点を $F$ とすると，
$$AB=9,\quad BQ=6,\quad QA=11$$
が成り立ちました．このとき，線分 $FP$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので， $a+b$ の値を求めてください． |
OMC240 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/tasks/10992 | F | OMC240(F) | 600 | 1 | 14 | [
{
"content": " 図1のように六角形の辺の長さを反時計回りに $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6$ とおくと，次が成り立つ．\r\n$$p_1+p_3+p_5=p_2+p_4+p_6\\quad\\cdots(1)$$\r\n$$p_1p_3+p_3p_5+p_5p_1=p_2p_4+p_4p_6+p_6p_2\\quad\\cdots(2)$$\r\n\r\n***\r\n**証明．**六角形を囲う $6$ つの三角形はすべて相似である．$2$ つの正三角形の周長はある定数 $k\\\\,(\\gt1)$ を用いて\r\n$$p_1+p_3+p_5+k(p_2+p_4+p_6),... | 平面上に $2$ つの合同な正三角形があり，この $2$ つの正三角形の共通部分が（すべての辺の長さが正である）六角形をなしています．この六角形の辺の長さとして現れる値はちょうど $5$ つであり，これらを小さい順に $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ とおくと，
$$\dfrac{x_1}{x_3}+\dfrac{x_4}{x_3}=2,\quad \dfrac{x_2}{x_3}=\dfrac{3}{7}$$
が成り立ちます．このとき，$\dfrac{x_5}{x_3}$ としてあり得る値がちょうど $2$ つ存在するので，その総和を求めてください．ただし，求める値は正整数 $a, b, c$（$b, c$ は互いに素）を用いて $a+\sqrt\dfrac{b}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください． |
OMCB033 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/tasks/12035 | A | OMCB033(A) | 100 | 167 | 342 | [
{
"content": " $x$ と $x^2$ の小数部分が等しいことは $k=x^2-x$ が整数となることと同値である．$0 \\lt x \\leq 100$ のとき\r\n$$-\\frac{1}{4} \\leq x^2-x \\leq 100^2-100=9900$$\r\nより，$k$ としてありうる値は $0, 1, \\dots , 9900$ の $9901$ 個存在する．それぞれの $k=0, 1, \\dots , 9900$ に対して $x^2-x=k$ かつ $0 \\lt x \\leq 100$ を満たす実数 $x$ はただ $1$ つ存在するから，求める個数は $\\mathb... | $100$ 以下の正の実数 $x$ であって，$x$ の小数部分と $x^2$ の小数部分が等しいものはいくつありますか．ただし実数 $y$ の小数部分とは，$y$ 以下の最大の整数を $y$ から引いた値のことです． |
OMCB033 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/tasks/11893 | B | OMCB033(B) | 200 | 198 | 342 | [
{
"content": " 正八角形の頂点を $2$ つ選ぶと，それらを頂点に含む正方形が $3$ つ（隣接する頂点として含む正方形が $2$ つ，対角線の両端として含む正方形が $1$ つ）存在するので，このようにして正方形を作る方法は，$\\_8\\mathrm C_2\\cdot3$ 通り存在する．これらの正方形のうち，$3$ つ以上の頂点が正八角形上に存在するものは，正八角形の隣接しない $4$ 頂点を頂点とする正方形（以下これを内接正方形とよぶ）のみである．内接正方形は $2$ つ存在し，正八角形の $2$ つの頂点からある内接正方形を作る方法は，$\\_4 \\mathrm C_2=6$ 通りである．よ... | 平面上に正八角形があります．同じ平面上の正方形であって，正八角形と少なくとも $2$ つ頂点を共有するものはいくつありますか？ |
OMCB033 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/tasks/11876 | C | OMCB033(C) | 200 | 177 | 225 | [
{
"content": " $\\angle{APB}=\\alpha$, $\\angle{AQB}=\\beta$ とおく．直線 $QA$ は $A$ で $\\omega_1$ に接するから，$\\angle{APB}=\\angle{QAB}=\\alpha$ であり，同様にして $\\angle{AQB}=\\angle{PAB}=\\beta$ である．三角形の外角の性質より $\\angle{ABP}=\\angle{ABQ}=\\alpha+\\beta$ であり，\r\n$$2(\\alpha+\\beta)=\\angle{ABP}+\\angle{ABQ}=180^\\circ$$\r\nより... | $2$ つの円 $\omega_1$ と $\omega_2$ が相異なる $2$ 点 $A$, $B$ で交わっています．$A$ における $\omega_2$ の接線と $\omega_1$ の交点のうち $A$ でない方を $P$ とし，$A$ における $\omega_1$ の接線と $\omega_2$ の交点のうち $A$ でない方を $Q$ とすると，$3$ 点 $P, B, Q$ は同一直線上にありました．$AB=6, \ PQ=28$ であるとき，$\omega_1$ の半径と $\omega_2$ の半径の積を求めてください． |
OMCB033 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/tasks/11978 | D | OMCB033(D) | 200 | 226 | 278 | [
{
"content": "$$105000=2^3\\cdot 3\\cdot 5^4\\cdot 7$$\r\nに注意すると，$a$ が $5$ の倍数でない，すなわち $b$ が $5^4$ の倍数のとき，\r\n$$5b\\geq 5^5\\gt 2^3\\cdot 3\\cdot 7\\geq a$$\r\nが従い，条件を満たさない．したがって $a$ が $5$ の倍数である必要があり，求める組の個数は次を満たす正整数の組 $(a^\\prime,b)$ の個数に等しい．\r\n$$a^\\prime b=2^3\\cdot 3\\cdot 5^3\\cdot 7,\\quad a^\\prime \\g... | $ab=105000$ を満たす正整数の組 $(a,b)$ であって，$a\geq 5b$ を満たすものの個数を求めてください． |
OMCB033 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/tasks/10711 | E | OMCB033(E) | 200 | 138 | 173 | [
{
"content": " 連立方程式は以下のように書き換えられる．\r\n$$\r\n\\begin{cases}\r\nx+2y+4z=12\\\\\\\\\r\nx\\cdot2y+2y\\cdot4z+4z\\cdot x=44\\\\\\\\\r\nx\\cdot2y\\cdot4z=48\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nよって，$x,2y,4z$ は $t$ の方程式 \r\n$$t^3-12t^2+44t-48=0$$\r\nの $3$ 解で，これを解いて $\\lbrace x,2y,4z\\rbrace=\\lbrace2,4,6\\rbrace$ を得る．ゆえに，これらの並べ替... | 次の連立方程式を満たす実数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$x^3+y^3+z^3$ の総和を解答してください．
$$
\begin{cases}
x+2y+4z=12\\\\
xy+4yz+2zx=22\\\\
xyz=6
\end{cases}
$$ |
OMCB033 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/tasks/11522 | F | OMCB033(F) | 300 | 114 | 181 | [
{
"content": " 線対称の条件を除いて考えると，$(i,j)$ に石があるならば $f(i)=j$ となるように対応させることで，石の配置は $\\\\{ 0, 1, \\ldots, 7\\\\}$ から $\\\\{ 0, 1, \\ldots, 7\\\\}$ への全単射 $f$ と一対一対応する．石の配置が線対称であることより，$i\\neq j$ のとき $(i,j)$ に石があるならば $(j,i)$ にも石があるため，$f(i)\\neq i$ ならば $f(f(i))=i$ となる．$f(i)=i$ のときも $f(f(i))=f(i)=i$ であるため，\r\n$$f(f(i))=i \... | $x,y$ 座標がともに $0$ 以上 $8$ 未満であるような $64$ 個の格子点があります．以下のルールに従ってこれらの格子点の上に $8$ 個の石を置く方法は何通りありますか？
- $x$ 座標が同じ石のペアは存在しない．
- $y$ 座標が同じ石のペアは存在しない．
- 石の配置は直線 $y=x$ に対して線対称である． |
OMCB033 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/tasks/11894 | G | OMCB033(G) | 300 | 90 | 139 | [
{
"content": " $a,b,c\\in S$ が $a^2+b^2=c^2$ を満たすとき，$a,b$ を**縦横数**，$c$ を**斜数**と呼ぶことにする．このような組で $a\\leqq b\\leqq c$ であるものは\r\n$$\r\n(a,b,c)=(3,4,5), (6,8,10), (5,12,13)\r\n$$\r\nであるので，次が分かる．\r\n- $3,4,5,6,8,12$ は縦横数である．\r\n- $5,10,13$ は斜数である．\r\n- $5$ は縦横数でかつ斜数である．\r\n- $1,2,7,9,11$ は縦横数でも斜数でもない．\r\n\r\n 条件から，関数... | $S=\\{1,2,3,\dots ,13\\}$ とおきます．$S$ の要素に対して定義され $S$ 上に値を取る関数 $f$ であって，次の条件を満たすものの個数を解答してください．
- $a,b,c\in S$ について，$a^2+b^2=c^2$ ならば $f(a)^2+f(b)^2=f(c)^2$ である． |
OMCB033 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/tasks/11968 | H | OMCB033(H) | 300 | 59 | 94 | [
{
"content": " $BC,DE$ について $A$ と対称な点をそれぞれ $X,Y$ とすると，条件より，線分 $XY$ 上に点 $P,Q$ が存在する．$$AX=\\sqrt{3}, \\quad AY=2\\sqrt{3}, \\quad \\angle XAY=120^\\circ$$\r\nより余弦定理から $XY=\\sqrt{21}$ がわかる．したがって再び余弦定理より，\r\n$$\\cos\\angle AXY=\\frac{2}{\\sqrt{7}}, \\quad \\cos\\angle AYX=\\frac{5}{2\\sqrt{7}}$$\r\nを得るから，\r\n$$\\be... | 一辺の長さが $1$ の正六角形 $ABCDEF$ があります．辺 $BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q$ をとったところ，
$$\angle APB=\angle QPC, \quad \angle PQD=\angle AQE$$
が成り立ちました．このとき，三角形 $APQ$ の面積の $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を答えてください． |
OMCB032 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/tasks/12865 | A | OMCB032(A) | 100 | 286 | 294 | [
{
"content": " どのタイミングで初めて $2$ 段進むかを定めれば $2025$ 段の進み方は一意に定まるので，全て $1$ 段進む場合も考えて，進み方は $\\mathbf{2025}$ 通りである．",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/editorial/12865"
}
] | 階段を $1$ 歩で $1$ 段か $2$ 段進むことのできる OMCB 君が $2025$ 段の階段を以下の条件を満たすように進みます．
- 残りの階段が $2$ 段以上であり，かつ直前に $1$ 歩で $2$ 段進んだとき，必ず次の $1$ 歩でも $2$ 段進む．
- 残りの階段が $1$ 段であるときは最後の $1$ 歩は $1$ 段進む．
ただし，はじめに進む段数は $1$ 段でも $2$ 段でも構いません．このとき，OMCB 君が $0$ 段目から $2025$ 段目まで階段を進む方法は何通りありますか？ |
OMCB032 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/tasks/12809 | B | OMCB032(B) | 100 | 297 | 297 | [
{
"content": " 与えられた $2$ 式の両辺の差を取ることで $x-y=-8$ がわかり，これを第 $1$ 式に代入して $x = 1-(-8)^3 = \\mathbf{513}$ を得る．",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/editorial/12809"
}
] | 以下を満たす実数の組 $(x,y)$ について，$x$ の値はただ一つに定まるのでその値を求めて下さい．
$$\begin{cases}
(x-y)^3 + x = 1 \\\\
(x-y)^3 + y = 9 \\\\
\end{cases}$$ |
OMCB032 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/tasks/11597 | C | OMCB032(C) | 100 | 281 | 289 | [
{
"content": " 辺 $BC$ を一辺として持つ正六十角形の中心を $O$ とすると，$\\angle{BOC} = 6^\\circ$ である．辺 $BC$ の中点を $D$ とすれば，$\\angle{BOD} = 3^\\circ$ と $\\angle{BDO} = 90^\\circ$ より $\\triangle{ODB} \\sim \\triangle{ABC}$ が成立し，相似比は $1 : 2$ となる．三角形 $ODB$ の面積は $3$ であるから，三角形 $ABC$ の面積は $3 \\times 4 = \\mathbf{12}$ である．",
"text": "公式解... | $\angle{A} = 3^\circ, ~ \angle{B} = 90^\circ$ なる直角三角形 $ABC$ があります．辺 $BC$ を一辺として持つ正六十角形の面積が $360$ となるとき，三角形 $ABC$ の面積はいくつですか？ |
OMCB032 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/tasks/8048 | D | OMCB032(D) | 200 | 208 | 252 | [
{
"content": " 任意の非負整数 $n,k\\ (n\\geq 2)$ に対して $n^k=(n-1+1)^k\\equiv 1\\pmod{n-1}$ であることに注意すれば，条件をみたす数を $n-1$ で割ったあまりは，$1+2+\\cdots+(n-1)=\\dfrac{n(n-1)}{2}$ を $n-1$ で割ったあまりに等しい．よって $\\dfrac{n(n-1)}{2}$ が $n-1$ の倍数となればよく，それは $\\dfrac{n}{2}$ が整数，つまり $n$ が偶数であることと同値．従って解答すべき値は\r\n$$2+4+\\cdots+200={\\bf 10100}.$$... | $n$ は $2$ 以上 $200$ 以下の整数とします．$n$ 進法表記したときにちょうど $n-1$ 桁で，各位が $1,2,…n-1$ の並べ替えであるような数を $n$ 進法の**良い数**と呼びます．例えば $1234_{(5)}$ や $2431_{(5)}$ は $5$ 進法の良い数ですが，$12340_{(5)}$ や $3141_{(5)}$ は $5$ 進法の良い数ではありません．
このとき，次の**条件**をみたす正整数 $n$ の総和を解答してください．
- **条件**：$n$ 進法の良い数全てが，$n-1$ で割り切れる． |
OMCB032 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/tasks/10387 | E | OMCB032(E) | 200 | 202 | 225 | [
{
"content": " $x\\leq 2$ は，$(3q+p^2)(3q-p^2)=x!$ と書きかえて調べるか，あるいは以下のようにして不適である．\r\n\r\n- $x=1$ のとき，$p^4\\equiv 2 \\pmod{3}$ となりえないので不適．\r\n- $x=2$ のとき，$p,q$ はともに奇数であるが，$p^4,9q^2\\equiv 1\\pmod{4}$ であるから不適．\r\n\r\n $x\\geq 3$ のとき，$p=3$ が必要．このとき，$9\\mid x!$ により $x\\geq 6$ であるが，一方で $q\\neq 3$ により $27\\nmid x!$ である... | 正整数 $x$ および素数 $p,q$ の組 $(x,p,q)$ であって，
$$ x!+p^4=9q^2 $$
をみたすものすべてについて，$xpq$ の総和を求めてください. |
OMCB032 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/tasks/11393 | F | OMCB032(F) | 200 | 105 | 177 | [
{
"content": " いずれかの箱のボールの個数が奇数個ある状態を $X$ とし，すべての箱のボールの個数が偶数個の状態を $Y$ とする．状態 $X$ のとき，ボールが奇数個の箱をすべて選び操作を行うことで状態 $Y$ に遷移できる．また，状態 $Y$ からはどのように箱を選んだとしても状態 $X$ に遷移する．したがって，状態 $X$ は必勝盤面である（すなわち状態 $Y$ は必敗盤面である）．ゲーム開始時点で状態 $X$ となる場合の数が求める値であり，これは\r\n$$ 50^5 - 25^5 = \\mathbf{302734375} $$\r\nである．",
"text": "公式解説",... | ボールが $50$ 個まで入る透明な $5$ つの箱 $A, B, C, D, E$ があります．各箱には既に $0$ 個以上 $49$ 個以下のボールが入っています．この $5$ 箱を使って，杉田君と中村君は次の操作を交互に行うゲームをしました．
- $1$ 箱以上選び，選んだ箱すべてに $1$ 個ずつボールを追加する．
杉田君が先攻でゲームを開始し，先に操作が行えなくなった人の負けとします．ゲーム開始時点でのボールの個数の組み合わせは全部で $50^5$ 通りありますが，そのうち中村くんがどのように操作をしても杉田君が勝つことが可能であるような組み合わせは何通りありますか？ |
OMCB032 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/tasks/9195 | G | OMCB032(G) | 300 | 96 | 149 | [
{
"content": " $r=9195$ とおく．内部に円周と共有部分をもつマスは，（ $r$ が十分大きいことから）円周によって $2$ つの領域に分割される．内部に円周と共有部分をもつマスの個数は，円周がマス目をなす直線を横切る回数から円周がマス目の頂点を通る回数を引いたものに等しい．縦の直線を考えると，円周と交わるものは高々 $2r$ 本であり，交点は高々 $4r$ 個である．横の直線も考えることで，求める最大値は $8r$ 以下である．\\\r\n 逆に，あるマスの中央を中心として円周を描くと，等号が成立する．実際，一般に整数 $x,y$ に対して\r\n$$ \\biggl(x+\\dfrac{1}{... | 無限に広がる一辺が $1$ のマス目に，半径 $9195$ の円周を描いたとき，内部にこの円周と共有部分をもつマスの個数の最大値を求めてください．ただし，マスの内部とは，マスからその頂点と外周を除いた部分をさすものとします． |
OMCB032 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/tasks/11725 | H | OMCB032(H) | 300 | 104 | 186 | [
{
"content": " 正整数 $k$ の十進法表記での各位の和を $S(k)$ と表す．$10^{10}-1$ 以下の非負整数 $m$ であって\r\n$$S(m+1) = S(m+10^4)$$\r\nを満たすものの個数を求めればよい．\r\n\r\n 今，$m$ の $10^{i}$ の位が $9$ でないような最小の $i \\geq 0$ を $i_m$ とすると，$m+1$ について\r\n\r\n- $10^0,10^1,\\ldots,10^{i_m - 1}$ の位は $0$（ $i_m$ に限り，これは考えなくてよい）．\r\n- $10^{i_m}$ の位は次の位に繰り上がらない．\r\n... | $10^{10}$ 以下の正の整数 $n$ であって，$n$ と $n+9999$ それぞれの十進法表記での各位の和が等しいものはいくつありますか？ |
OMC239 (東京出版杯) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc239/tasks/3113 | A | OMC239(A) | 100 | 370 | 371 | [
{
"content": " $A,B,D,E$ はいずれも $1$ でないことに留意する．例えば，以下の組は条件をみたす．\r\n$$(A,B,C,D,E,F)=(2,5,10,3,4,12)$$\r\n $C,F$ のとり得る値は $2$ 以上の相異なる $2$ つの正整数の積として表せるものであるから，$12$ 未満では $6,8,10$ である．しかし，これらより $C,F$ を選ぶとき $\\\\{A,B\\\\},\\\\{D,E\\\\}$ がともに $2$ を含む必要があるから不適である．\\\r\n 以上より，求める最小値は $\\textbf{12}$ である．",
"text": "公式... | **相異なる**正の整数 $A,B,C,D,E,F$ は次の条件をすべて満たしています.
- $A\times B=C$
- $D\times E=F$
- $C\lt F$
このとき $F$ の値としてありうる最小値を求めてください. |
OMC239 (東京出版杯) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc239/tasks/8793 | B | OMC239(B) | 200 | 349 | 361 | [
{
"content": " 次をみたす整数 $M$ のうち，$2023$ 以上で最小のものを求めればよい：\r\n$$ M \\equiv 2025 - 2 \\pmod 5 $$\r\n$$ M \\equiv 2025 - 1 \\pmod {11} $$\r\n$$ M \\equiv 2025 \\pmod {17} $$\r\n\r\n$5, 11, 17$ が等差数列をなすことに注意すると，$p = 5, 11, 17$ について\r\n$$ 6M \\equiv 6 \\cdot 2025 - 17 \\pmod p $$\r\n\r\nを得る．したがって\r\n$$ 6M \\equiv 6 \\c... | $3$ 種類のセミ $X, Y, Z$ がおり，セミ $X$ はちょうど $5$ 年ごとに，セミ $Y$ はちょうど $11$ 年ごとに，セミ $Z$ はちょうど $17$ 年ごとに大量発生します．一昨年はセミ $X$，去年はセミ $Y$，今年はセミ $Z$ が大量発生しました．このとき，次にセミ $X, Y, Z$ が**同時に**大量発生するのは何年ですか？
ただし，今年は $2025$ 年であるとします． |
OMC239 (東京出版杯) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc239/tasks/2451 | C | OMC239(C) | 300 | 117 | 202 | [
{
"content": " $\\angle A$ が最大角であることより，特に $\\angle B,\\angle C$ は鋭角であるから，$H$ は直線 $BC$ に対し $A$ と同じ側に，$D,E$ は直線 $BC$ に対し $A$ と異なる側にある．また，三角形 $ BHC$ と三角形 $DHE$ は相似比 $1:2$ で相似である．\\\r\n ここで $P$ を直線 $AH$ と直線 $DE$ の交点，$Q$ を線分 $DE$ の中点とすると，三角形 $ BHC,BPC,CQB$ は合同である．\r\nこれと $\\angle BAC+\\angle BHC=180^{\\circ}$ より $2$... | $\angle A$ が最大角である三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ とします．点 $B,C$ に関して点 $H$ と対称な点をそれぞれ $D,E$ とすると，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $DE$ は相異なる $2$ 点 $X,Y$ で交わりました．
$$BX=20,\quad BY=25,\quad DX=XY$$
が成り立つとき，辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください． |
OMC239 (東京出版杯) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc239/tasks/10025 | D | OMC239(D) | 400 | 82 | 129 | [
{
"content": " 任意の $1$ 以上 $7$ 以下の整数 $i$ について，$a_i=\\sqrt{x_1+\\cdots+x_i}$ とすると\r\n$$S+T-1=a_1^2+\\frac{a_2^2}{a_1}+\\frac{a_3^2}{a_2}+\\cdots+\\frac{a_7^2}{a_6}+\\frac{1}{a_7}$$\r\nである．ここで，$a_0=1$ とすると，相加相乗平均の不等式より\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS+T-1&=\\sum_{k=0}^7 \\frac{a_{k+1}^2}{a_k}\\\\\\\\\r\n&=\\sum_{k=0}^7 ... | 実数 $x_1,x_2,...,x_8$ はその総和が $1$ であり，任意の $1$ 以上 $7$ 以下の整数 $i$ について，$x_1+x_2+\cdots +x_i\gt0$ を満たします．ここで，$S,T$ を次のように定めます．
$$S=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+x_2}+\cdots+\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_7}+\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_8}$$
$$T=\frac{x_2}{\sqrt{x_1}}+\frac{x_3}{\sqrt{x_1+x_2}}+\cdots+\frac{x_8}{\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_7}}+\frac{x_1}{\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_8}}$$
$S+T-1$ の取り得る最小値を $m$ とすると，$m^N$ が有理数となるような正の整数 $N$ が存在します．このような $N$ の最小値を $n$ とするとき，$m^n$ を既約分数で表すと分母は $2$ で $a$ 回，分子は $3$ で $b$ 回割り切れます．$a+b$ を解答してください． |
OMC239 (東京出版杯) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc239/tasks/10644 | E | OMC239(E) | 500 | 56 | 182 | [
{
"content": " $p-1 = 2^6 \\cdot 3^2 \\cdot 5 \\cdot 7$ である．また，該当範囲で $x$ が $p$ の倍数になるものは無視してよい．ここで，$\\bmod~p$ での原始根の一つを $r$ とする．$p$ 以上 $p^3$ 未満の整数のうち $p$ を法として $r^k$ $(0\\leq k \\lt p-1)$ と等しいものは，$r^k$ を $p$ で割った余りを $a_k$ とすると $bp+a_k$ $(1\\leq b \\leq p^2-1)$ と表せることから，$p^2-1$ 個存在する．この集合を $S_k$ とする．$x \\in S_k$... | $p=20161$ とします． $p$ 以上 $p^3$ 未満の整数 $x$ であって，$x^x-1$ が $p$ で割り切れるものはいくつありますか．ただし，$20161$ は素数です． |
OMC239 (東京出版杯) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc239/tasks/10259 | F | OMC239(F) | 500 | 45 | 68 | [
{
"content": " すべてのカードに書かれた整数から $1$ ずつ引き，$11$ 桁となるように適宜先頭に $0$ を補って $3$ 進表記する．また，任意の $0$ 以上 $3^{11}$ 未満の整数 $k$ について，$b_k=a_{k+1}-1$ とする．すなわち，0-indexed で数えたときの上から $k$ 番目に書かれたカードの数を $b_k$ とする．さらに，$11$ 桁の $3$ 進表記を逆から読む関数を $\\mathrm{Rev}$ とする．たとえば \r\n$$\r\n\\mathrm{Rev}(11) = \\mathrm{Rev}(00000000102_{(3)})=20100... | $1$ から $3^{11}$ までの整数が書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつあり，左から小さい順に横一列に並んでいます．$1$ 枚以上のカードが重なった状態を**カード束**と呼びます． \
$3n$ 個のカード束が横一列に並んでいるとき，カード束を左から順に $X_1,\ldots,X_{3n}$ とし，以下の $3$ 種類の操作のうち $1$ つを行うことができます．
- 操作 $A$：$1$ 以上 $n$ 以下の任意の整数 $k$ に対して，$X_{n+k}$ を $X_{2n+k}$ の上に重ね，さらにその上に $X_{k}$ を重ねることで $n$ 個のカード束を得る．
- 操作 $B$：$1$ 以上 $n$ 以下の任意の整数 $k$ に対して，$X_{2n+k}$ を $X_{k}$ の上に重ね，さらにその上に $X_{n+k}$ を重ねることで $n$ 個のカード束を得る．
- 操作 $C$：$1$ 以上 $n$ 以下の任意の整数 $k$ に対して，$X_{k}$ を $X_{n+k}$ の上に重ね，さらにその上に $X_{2n+k}$ を重ねることで $n$ 個のカード束を得る．
このとき，操作 $A,B,C$ を合計 $11$ 回行うことでカード束がちょうど $1$ つになります．すべての操作が終了した後のカード束の上から $k$ 枚目に書かれている整数を $a_k$ とおくとき，$a_{a_m}=1$ を満たす整数 $m$ がちょうど $1$ つ存在するため，この $m$ をその操作の**スコア**とします．\
$6$ 回目の操作で操作 $A$ を行うような，$11$ 回の操作の実行方法は $3^{10}$ 通りありますが，これらすべてに対するスコアの総和を求めてください．
<details><summary>例<\/summary>
例えば，$1,2,3,4,5,6,7,8,9$ という $9$ 枚のカード (束) が横一列に並んでいるときに，操作 $A$ の後に操作 $B$ を行うと，カード束は $1$ 個になり，上から $2,5,8,3,6,9,1,4,7$ の順に並びます．
<\/details> |
OMCE011 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/tasks/9213 | A | OMCE011(A) | 300 | 174 | 220 | [
{
"content": " 半直線 $HM, MH$ と円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, E$ とすると，$D$ は $H$ を $M$ について対称移動させた点であり，また $AD$ は円 $ABC$ の直径をなす．いま，$AH$ と $BC$ の交点を $F$ とすると $\\angle AEM=\\angle AFM=90^{\\circ}$ より $A, E, F, M$ は共円であり，ここで\r\n$$3EM=EM×HM=EM×DM=\\left(\\dfrac{BC}{2}\\right)^2=16$$\r\nより $EM=\\dfrac{16}{3}$ が成り立ち，さらに\r\n$$\\dis... | 鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とすると，
$$ HM=3, \quad BC=8 $$
が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値の $2$ 乗を求めてください． |
OMCE011 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/tasks/3773 | B | OMCE011(B) | 400 | 54 | 116 | [
{
"content": " $\\\\{a_i\\\\}$ に対して数列 $\\\\{b_i\\\\}$ を次のように定義する:\r\n - $n$ 以下の正整数 $i$ であって，$(a_i,a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ なるもの全てに対して，$a_{i+1}$ を削除した数列．\r\n\r\nこのとき，$\\\\{b_i\\\\}$ の要素数は $n-123$ であり，$b_{n-122}=b_1, ~ b_{n-121}=b_2$ と定義すると，全ての $n-123$ 以下の正整数 $k$ で $b_{k-1} \\neq b_k$ が成り立ち，かつ $n-123$ 以下の正整数 $i$... | $a_1, a_2, \ldots, a_n$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{n+1}=a_1, ~ a_{n+2}=a_2$ と定義すると，全ての $n$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1}≠a_k$ が成り立ち，かつ $n$ 以下の正整数 $i$ のうち，
- $(a_i,a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
- $(a_i,a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
- $(a_i,a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
- $(a_i,a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個
ずつ存在します．このような正の整数 $n$ としてありうるものは有限個なので，これらすべての総和を求めてください． |
OMCE011 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/tasks/7845 | C | OMCE011(C) | 400 | 114 | 153 | [
{
"content": "$$z = \\dfrac{(pq+1)(2^{p+r}-1)}{(2^p-1)q}$$\r\nとおき，$z$ が整数となる条件を考える．ここで，$p, q, r$ が相異なる素数であることから，\r\n$$ \\gcd (2^{p+r}-1, 2^p-1) = 2^{\\gcd(p+r, p)} - 1 = 1$$ \r\nおよび $\\gcd(pq+1, q) = 1$ が成り立つ．これにより，$z$ が整数となることは\r\n$$ z_1 = \\frac{pq+1}{2^p-1}, \\quad z_2 = \\frac{2^{p+r}-1}{q} $$\r\nがともに整数となるこ... | $1000$ 以下の**相異なる奇素数**の組 $(p, q, r)$ であって，$q\lt 2^{p+1}$ を満たし，かつ
$$\dfrac{(pq+1)(2^{p+r}-1)}{(2^p-1)q}$$
が整数となるようなものについて，$pqr$ としてありうる最大の値を解答してください． |
OMCE011 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/tasks/13124 | D | OMCE011(D) | 500 | 36 | 78 | [
{
"content": " 前者の条件は，ある複素数係数多項式 $Q$ によって\r\n$$ \\begin{aligned} \r\nP(x) &= Q(x)\\cdot\\prod_{n=1}^{3000} \\bigg( x- \\bigg(\\cos{\\frac{2n}{3001}\\pi}+i\\sin{\\frac{2n}{3001}\\pi} \\bigg) \\bigg) +3001 \\\\\\\\\r\n&=Q(x)(x^{3000}+x^{2999}+\\ldots+x+1)+3001\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nと表せることと同値であり，後者は同様にある複素数係数... | 複素数係数多項式 $P$ は，
- $n=1,2,\ldots,3000$ に対して，$$P\bigg(\cos{\frac{2n}{3001}\pi}+i\sin{\frac{2n}{3001}\pi}\bigg)=3001$$
- $n=1,2,\ldots,7000$ に対して，$$P\bigg(\cos{\frac{2n}{7001}\pi}+i\sin{\frac{2n}{7001}\pi}\bigg)=7001$$
を満たしています．このような $P(x)$ のうち次数が最小であるものについて，$P(1)$ の値を解答してください． |
OMCE011 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/tasks/8527 | E | OMCE011(E) | 800 | 7 | 20 | [
{
"content": " まずは次の補題を示す．\r\n\r\n----\r\n**補題．** $4$ 点 $I,J,D,X$ は同一円周上にある．\r\n<details><summary> **証明**<\\/summary>\r\n 線分 $DH,DE,DF$ の中点を $L,M,N$ とすると中点連結定理より，この $3$ 点は同一直線上にあり，次の角度計算により，$4$ 点 $I,L,K,J$ が同一円周上にあることがわかる．\r\n$$\\angle JLI = \\angle JHG = 90^\\circ - \\angle JGK = \\angle JKI$$\r\nここで，$\\omega$... | $AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ について内心を $I$，内接円を $\omega$ とします．$\omega$ と辺 $BC, CA, AB$ の接点を $D, E, F$ とし，$I$ について $D$ と対称な点を $G$ とします．$D$ から線分 $EF$ に下ろした垂線と線分 $EF,\omega$ の交点をそれぞれ $H, J ~ (\neq D)$ として，直線 $GH$ と $\omega$ の交点を $K ~ (\neq G)$ とします．すると，直線 $JK$ が三角形 $IBC$ の外接円と相異なる $2$ 点 $X, Y$ で交わり，さらに以下が成り立ちました．
- $4$ 点 $J, K, Y, X$ はこの順に並び，$KY=2, ~ YX=9$ が成り立つ．
- $EF:BC=1:3$ が成り立つ．
- $Y$ は三角形 $ABC$ の内部にある．
このとき，線分 $IX$ の長さは $a, c$ が互いに素であるような正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください． |
OMCE011 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/tasks/8764 | F | OMCE011(F) | 900 | 2 | 39 | [
{
"content": " 正の整数 $n$ に対して，$\\mathrm{mod} \\ n$ で問題文の条件を満たすような移動を $n^2-1$ 回したときに $P$ がいる可能性のある点の個数を $A_n$ で表す．求めるのは $A_{50}$ の値である．\\\r\n 一辺 $n$ のマス目で正方形を作り，その対辺どうしをつないでトーラスを作る．このとき，問題の条件を満たす経路とはすなわちその $n^2$ 個のマスをちょうど $1$ 度ずつ通るような経路である．経路長の $\\mathrm{mod} \\ n$ を考えれば，$un+v$ 回 $(u$ は非負整数，$0\\leq v \\leq n-1)$ ... | 点 $P$ ははじめ $xy$ 座標平面上の点 $(0,0)$ にいます．$P$ を $x$ 軸の正方向と $y$ 軸の正方向のいずれかに $1$ だけ移動させる操作をちょうど $2499$ 回繰り返すと， $P$ は点 $(a, b)$ に到達し，さらに以下の条件が満たされていました．
- **条件：** $0$ 以上 $2499$ 以下の整数 $k$ に対して，$x_k, y_k$ をそれぞれ $P$ が $k$ 回移動した直後の $x,y$ 座標を $50$ で割った余りとしたとき，$0\leq i\lt j\leq 2499$ をみたす任意の整数の組 $(i,j)$ に対して $(x_i, y_i) ≠ (x_j, y_j)$ が成り立つ.
このとき，非負整数の組 $(a, b)$ としてありうるものはいくつありますか？ |
OMCB031 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/tasks/11761 | A | OMCB031(A) | 100 | 280 | 312 | [
{
"content": " $TQ+QC=DC$より，次のように計算できる．\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\square SQCR&=QC^2\\\\\\\\\r\n&=QC(DC-TQ)\\\\\\\\\r\n&=2\\triangle DCQ-2\\triangle TQC\\\\\\\\\r\n&=2(\\triangle DUC +\\triangle UQC)-2(\\triangle TUQ+\\triangle UQC)\\\\\\\\\r\n&=2(\\triangle DUC-\\triangle TUQ)\\\\\\\\\r\n&=2\\cdot 12\\\\\\\\\r... | 正方形 $ABCD$ の辺 $AB$ 上に点 $P$，辺 $BC$ 上に点 $Q$，辺 $CD$ 上に点 $R$ があります．正方形 $ABCD$ の内部に点 $S,T$ をとると四角形 $PBQT,SQCR$ はいずれも正方形となりました．このとき線分 $TC$ と線分 $QD$ は交点を持つので，その点を $U$ すると，次が成り立ちました．
- 三角形 $DCU$ の面積は三角形 $TQU$ の面積よりも $12$ 大きい．
正方形 $SQCR$ の面積を求めてください． |
OMCB031 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/tasks/9113 | B | OMCB031(B) | 200 | 277 | 335 | [
{
"content": " 一般に $n$ 桁の正整数 $\\overline{a_{n-1}a_{n-2}\\dots a_0}$ を $11$ で割ったあまりは\r\n$$\\overline{a_{n-1}a_{n-2}\\dots a_0}=\\sum_{k=0}^{n-1}10^ka_k\\equiv a_0-a_1+\\dots +(-1)^{n-1}a_{n-1}\\pmod{11}$$\r\nを $11$ で割った余りに等しい．したがって問題文の条件は「下から数えて奇数桁目に含まれる $1$ の数と，偶数桁目に含まれる $1$ の数が等しい」と言いかえられる．よって $10^{10}$ の位が $1... | 次の条件を満たす正整数はいくつありますか？
- ちょうど $11$ 桁である．
- $11$ で割り切れる．
- 各位の数が $0$ と $1$ で構成されている． |
OMCB031 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/tasks/11373 | C | OMCB031(C) | 200 | 193 | 259 | [
{
"content": " $h(x) = f(x) - g(x)$ とすると，$f(x)$ と $g(x)$ の $x^3$ の係数がともに $1$ であることから，$h(x)$ は $2$ 次多項式となる．また，問題文の上 $2$ 式より，$x=-2,-6$ は方程式 $h(x)+x^2$ の $2$ 解であるので，ある実数 $a$ が存在して次が成立する．\r\n$$h(x)+x^2=a(x+2)(x+6)$$\r\nこの式に $x=2$ を代入して $h(2)=4$ を用いると，$8=32a$ より $a=\\dfrac{1}{4}$ を得る．以上より，\r\n$$f(x)-g(x)=\\frac{1}{4... | ともに $x^3$ の係数が $1$ である実数係数 $3$ 次多項式 $f(x),g(x)$ が以下を満たしています．
$$
\left\lbrace
\begin{aligned}
&f(-6) = g(-6) - 36 \\\\
&f(-2) = g(-2) - 4 \\\\
&f(2) = g (2) + 4 \\\\
&f(6) = 96
\end{aligned}
\right.
$$
このとき，$g(6)$ としてあり得る値の総和を解答してください． |
OMCB031 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/tasks/11126 | D | OMCB031(D) | 300 | 108 | 139 | [
{
"content": " 点 $D$ を線分 $CD$ が三角形 $ABC$ の外接円の直径となるようにとる．簡単な角度計算より，$D$ は直線 $CP$ 上にある．三角形 $ACP,DBP$ は相似なので，次が成り立つ．\r\n$$BD=BP\\cdot \\frac{CA}{CP}=\\frac{35}{8}$$\r\nこれと $\\angle DBC=90^\\circ$ より，三平方の定理から，直径 $CD$ の長さの $2$ 乗は\r\n$$BD^2+BC^2=\\frac{4361}{64}$$\r\nである．特に解答すべきは $\\bf4425$．",
"text": "公式解説",
... | $BC=7$ なる三角形 $ABC$ において，辺 $AB$ 上に点 $P$ をとると，以下が成立しました．
$$\angle ABC + \angle ACP=90^\circ, CA:CP=7:8, BP=5$$
このとき，三角形 $ABC$ の外接円の**直径**の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b}}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください． |
OMCB031 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/tasks/11082 | E | OMCB031(E) | 300 | 101 | 168 | [
{
"content": " $a \\leq b \\leq c$ なる非負整数 $a,b,c,d$ について，方程式 $2^a+2^b+2^c=2^d$ の一般解を考える．$2^c \\lt 2^d$ より，\r\n$$\\frac{1}{2^{d-a}} + \\frac{1}{2^{d-b}} + \\frac{1}{2^{d-c}} = 1$$\r\nが成り立つ．$1 \\leq d-c \\leq d-b \\leq d-a$ から，\r\n$$1 = \\frac{1}{2^{d-a}} + \\frac{1}{2^{d-b}} + \\frac{1}{2^{d-c}} \\leq \\frac{3}{... | 以下の等式を満たす $1$ 以上 $360$ 以下の整数の組 $(p,q,r,s)$ 全てについて，$p+q+r+s$ の総和を求めてください．
$$2^p + 4^q + 8^r = 16^s$$ |
OMCB031 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/tasks/11430 | F | OMCB031(F) | 400 | 14 | 60 | [
{
"content": " 色の予想は玉の取り出し方に影響を及ぼさないため，各回残りが多いほうの色を，残りが同じ場合は適当に予想すれば期待値が最大になる．このような予想法を最良の予想法と呼ぶことにする．\\\r\n ところで，残りが多い色の残っている玉の数（同じ場合はどちらか一方の数）を $M$ とおき，$M$ の変化を観察すると\r\n\r\n- どちらかの色の残っている玉の数がもう一方の色の残っている玉の数より真に大きく，しかも残っている玉の数が多い色の玉が取り出されたとき，かつその時に限り$1$ だけ減少する．\r\n\r\n $M$ は最初は $7$ で最後は $0$ なので，最良の予想法を行ったときは $... | 白玉 $7$ 個，黒玉 $7$ 個が入った箱があり，これを用いて次の手順で箱の中の玉がなくなるまでゲームを行います．
- 白と黒のどちらかの色を指定する．
- 箱の中から玉を $1$ つ取り出し，その玉の色が指定した色と同じならば $1$ 点獲得し，そうでないならば $0$ 点を獲得する．
- 取り出した玉は捨て，始めの手順（色の指定）に戻る．
ただし，箱の中の玉はすべて等確率で取り出されるとします．獲得点数の期待値が最大になるように色の予想を行うと，そのときの期待値は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください． |
OMC238 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/tasks/9652 | A | OMC238(A) | 100 | 341 | 349 | [
{
"content": " $P$ と $a,b,c,d$ の距離をそれぞれ $x_a, x_b, x_c, x_d$ とする．\\\r\n $a$ と $c$ は平行であるから，$P$ が $a,c$ の間にある場合とそうでない場合があり，それぞれの場合について $a$ と $c$ の距離は $x_a+x_c,|x_a-x_c|$ である．$b$ と $d$ の距離についても同様であるから，あり得る $4$ 値の総和は\r\n$$\\big ( (x_a+x_c)+|x_a-x_c|\\big) \\big ( (x_b+x_d)+|x_b-x_d|\\big)=\\bf251000$$\r\nである．",
... | 平面上に相異なる $4$ 直線 $a,b,c,d$ があり，
$$a \perp b, b \perp c, c \perp d$$
を満たします．また同じ平面上にある点 $P$ があり，$P$ と $a,b,c,d$ の距離はそれぞれ $248,249,250,251$ でした．\
このとき，$a,b,c,d$ で囲まれた長方形の面積としてあり得る値は $4$ 種類あるので，それらの総和を求めて下さい． |
OMC238 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/tasks/11653 | B | OMC238(B) | 300 | 190 | 305 | [
{
"content": " 非負整数の組 $(a_0, a_1\\ldots, a_{10})$ であって，\r\n$$ 0 \\le a_0 \\le a_1 \\le \\cdots \\le a_{10} \\le 10 $$\r\nを満たすものを考えると，これは $x$ 軸あるいは $y$ 軸正方向に $1$ だけ移動することを繰り返して $(0, 0)$ から $(11, 10)$ まで移動する方法と一対一に対応する（組 $(a_0, a_1, \\ldots, a_{10})$ と線分 $\\\\{ (x, a_n) \\mid n \\le x \\le n+1 \\\\}$ を通るような道順を対応づ... | 広義単調増加な非負整数列 $a_0,a_1,...,a_{10}$ であって，$a_5 \le 5$ かつ $a_{10} \le 10$ をみたすものは何通りありますか． |
OMC238 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/tasks/11674 | C | OMC238(C) | 300 | 193 | 254 | [
{
"content": "$$f(n)=\\frac{\\sqrt{n^2+8n+2d(d(n))+12}}{d(n)}$$\r\nとおくと，$f(n)$ が整数であるとき $n^2+8n+2d(d(n))+12$ は平方数である．ここで，任意の正の整数 $m$ について，$m$ の正の約数は $m$ 個以下であるので，$d(m)\\le m$である．よって，$d(d(n))\\le d(n) \\le n$ であるので，\r\n$$(n+3)^2\\lt\r\nn^2+8n+2d(d(n))+12\\le\r\nn^2+8n+2n+12\\lt\r\n(n+5)^2\r\n$$\r\nが成り立ち，$n^2+8n+... | 正整数 $x$ に対して $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表すとき，
$$\frac{\sqrt{n^2+8n+2d(d(n))+12}}{d(n)}$$
が整数となるような正整数 $n$ のうち，小さいほうから $4$ つの総和を解答してください． |
OMC238 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/tasks/11356 | D | OMC238(D) | 300 | 167 | 225 | [
{
"content": " $1$ 以上 $50$ 以下の整数の集合を，最大の奇数の約数が同じである集合，すなわち\r\n$$\\\\{1,2,4,...,32\\\\},\\\\{3,6,...,48\\\\},\\\\{5,10,20,40\\\\},\\cdots, \\\\{49\\\\}$$\r\nに分割し，順に $U_1,U_3,...,U_{49}$ とする．\\\r\n $1$ 以上 $49$ 以下の相異なる奇数 $i,j$ と $x\\in U_i$ および $y\\in U_j$ に対して，$x\\in A$ かどうかは $y\\in A$ かどうかに影響しないので，$k=1,3,...,49$... | 次をみたすような (空集合でもよい) 集合 $A$ の個数を $N$ とするとき，$N$ の正の約数の個数を解答してください．
- $A$ は $\\{1,2,\ldots, 50\\}$ の部分集合である．
- 任意の $A$ の要素 $x$ について，$2x$ は $A$ の要素でない． |
OMC238 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/tasks/11671 | E | OMC238(E) | 400 | 111 | 150 | [
{
"content": " 求める値は\r\n$$(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)=abc(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)$$\r\nに等しい．一方で，与えられた等式の第一式の両辺に $abc$ をかけて変形することで，\r\n$$c(b^2+ca)=ab(c-a), \\hspace{1pc} a(c^2+ab)=bc(a-b), \\hspace{1pc} b(a^2+bc)=ca(b-c)$$\r\nという $3$ つの等式を得る． 辺々掛け合わせて\r\n$$abc(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) = (abc)^2(a-b)(b-c)(c-a)$$\r... | $0$ でない複素数 $a,b,c$ であって，
$$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=1, \hspace{1pc} (a-b)(b-c)(c-a)={6}, \hspace{1pc} abc={3}$$
を同時に満たすものが存在します．このような $a,b,c$ に対して，
$$(a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)$$
の値は一意に定まるので，その値を解答してください． |
OMC238 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/tasks/4683 | F | OMC238(F) | 600 | 0 | 34 | [
{
"content": " 直線 $MP$ と直線 $NQ$ の交点を $S$ とおくと，$R$ が存在することより $S$ は直線 $AC$ について $B$ と反対側かつ直線 $BD$ について $C$ と反対側にある．また，$SA=SB, SC=SD, AC=BD$ が成立することから, 三角形 $SAC$ と三角形 $SBD$ は合同である．よって，$\\angle ASB=\\angle CSD$ であるので，三角形 $SAB$ と三角形 $SCD$ は相似である．また，\r\n$$\\angle SAX=\\angle SAC=\\angle SBD=\\angle SBX$$\r\nであるので，$4$... | 凸四角形 $ABCD$ についての二本の対角線の交点を $X$ とし，線分 $AB, CD$ の中点をそれぞれ $M, N$ とします．辺 $AB$ の垂直二等分線と線分 $AC$，辺 $CD$ の垂直二等分線と線分 $BD$ がそれぞれ $P, Q$ で交わっており，以下が成立しました.
$$AC=BD,\quad AB:CD=7:13,\quad BX:XC=11:34,\quad MP:NQ=1:4$$
このとき，線分 $MQ$ と線分 $NP$ が交わったので，この交点を $R$ とします．三角形 $PQR$ の面積と三角形 $NMR$ の面積の比は，互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $a:b$ と表されるので $a+b$ の値を解答してください. |
OMCB030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/11737 | A | OMCB030(A) | 100 | 353 | 357 | [
{
"content": " 任意の正整数 $k$ について，$k^5$ と $k$ の偶奇は一致するため，$k^5-k$ は必ず $2$ の倍数である．また，Fermat の小定理から $k^5-k$ はつねに $5$ の倍数でもある．よって $k^5-k$ は $10$ の倍数であり，$k^5,k$ の下 $1$ 桁は一致するから，$a_n$ の下 $1$ 桁は $n$ の下 $1$ 桁と一致する．よって求めるべき値は次のように計算できる．\r\n$$(1+2+\\dots +8+9+0)×10=\\mathbf{450}$$",
"text": "公式解説",
"url": "https://o... | 数列 $\\{a_n\\}_{n=1,2\cdots}$ を $a_1 = 1$ および
$$a\_{n+1}=a_n^5+1 \quad (n = 1, 2, \ldots)$$
で定めます．この数列の第 $1$ 項から第 $100$ 項までの下 $1$ 桁の総和を求めてください． |
OMCB030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/12547 | B | OMCB030(B) | 100 | 332 | 349 | [
{
"content": " 原点 $(0,0)$ にある点 $P$ に対し，操作 $A$ を $a$ 回，操作 $B$ を $b$ 回行うと，$P$ は $(2a-b,-3a+2b)$ に移動する．よって，連立方程式\r\n\r\n$$\\begin{cases}\r\n1=2a-b\\\\\\\\\r\n1=-3a+2b\r\n\\end{cases}$$\r\n\r\nを解くことで，点 $P$ を $(0,0)$ から $(1,1)$ に移動させるためには $A$ を $3$ 回，$B$ を $5$ 回行えばよいことが分かる．操作 $A,B$ を行う順序は任意であるから，求める場合の数は，$$\\_{3+5}\... | はじめ座標平面上の点 $P$ が $(0, 0)$ にいます．$P$ に対する操作 $A,B$ を以下のように定めます．
- 操作 $A$：点 $P$ が $(x,y)$ にいるとき，$P$ を $(x+2,y-3)$ に移動させる．
- 操作 $B$：点 $P$ が $(x,y)$ にいるとき，$P$ を $(x-1,y+2)$ に移動させる．
操作を何度か行い，$P$ を $(1,1)$ へ移動させる方法は何通りありますか？ |
OMCB030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/4587 | C | OMCB030(C) | 200 | 280 | 322 | [
{
"content": " $m$ は $\\mathrm{rad}(m)$ の倍数であることから，$\\mathrm{rad}(m)$ は $120$ の約数である．$\\mathrm{rad}(m)$ は同じ素数で高々 $1$ 回しか割り切れないことに注意すると，$\\mathrm{rad}(m)$ の値の候補は $2,3,5,6,10,15,30$ に絞られる．それぞれ $120$ を加えたものを検討すれば，$m=125,135,150$ が適することがわかり，求める総和は $\\mathbf{410}$ である．",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlin... | $2$ 以上の整数 $n$ に対し，$n$ が持つ相異なる素因数の総積を $\mathrm{rad}(n)$ で表します．例えば，$\mathrm{rad}(18)=2\times 3$ です．次の等式を満たす $2$ 以上の整数 $m$ の総和を求めてください．
$$m=\mathrm{rad}(m)+120$$ |
OMCB030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/12529 | D | OMCB030(D) | 200 | 240 | 258 | [
{
"content": " 問題の三次方程式の解を $\\alpha,\\beta,\\gamma$ とし，$s=\\dfrac{\\alpha+\\beta+\\gamma}{2}$ とおく．解と係数の関係より $s=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{2000}{1000}=1$ であり，\r\n\r\n$$(s-\\alpha)(s-\\beta)(s-\\gamma)=\\dfrac{1}{1000}(1000s^3-2000s^2+1300s-273)=\\dfrac{27}{1000}$$\r\n\r\nとなる．求める三角形の面積はヘロンの公式より，\r\n\r\n$$\\sqrt{s... | 三次方程式
$$1000x^3-2000x^2+1300x-273=0$$
は $3$ つの正の実数解をもちます．$3$ 辺の長さがこの $3$ つの正の実数に等しい三角形が存在するので，この三角形の面積を求めてください．ただし，答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください． |
OMCB030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/9540 | E | OMCB030(E) | 200 | 107 | 153 | [
{
"content": " 三角形 $BDH$ と 三角形 $ADC$ は相似であるから，\r\n$$3:HD=(4+HD):4$$\r\nが従い，$HD=2$ を得る．すると，三平方の定理から $BH=\\sqrt{13}$，$AB=3\\sqrt{5}$である．さらに，三角形 $ABH$ と 三角形 $EDH$ は相似であるから，$DE=3\\sqrt{5}\\times\\displaystyle\\frac{2}{\\sqrt{13}}=\\displaystyle\\frac{6\\sqrt{65}}{13}$ であり，特に解答すべき値は $\\mathbf{84}$ である．",
"text":... | $H$ を垂心とする鋭角三角形 $ABC$ があり，直線 $AH$ と線分 $BC$ の交点を $D$，直線 $BH$ と線分 $CA$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました：
$$AH=4, \quad BD=3, \quad CD=4.$$
このとき，線分 $DE$ の長さを求めてください．ただし，求める長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください． |
OMCB030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/11863 | F | OMCB030(F) | 300 | 58 | 142 | [
{
"content": " $2$ 人の秒速の差は無理数なので，端の直線に同時に $2$ 人がいることはないことに気をつけると，$2$ 人が同じ位置になるのは次の $2$ 通りである． \r\n - 端の直線以外で太郎さんが花子さんを同じ方向に向かいながら追い抜くとき \r\n これは一周 $4$ メートルの円周を同じ地点から同じ方向にスタートして太郎さんが追い抜く回数と言い換えられる．$10000$ 秒で太郎さんが花子さんに対して相対的に $10000(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})$ メートル進むので，この間に $x$ 回追い抜いたとすると次が成り立つ．\r\n$$4x\\leq 10000(\\... | 花子さんと太郎さんは一緒に体育館で反復横跳びをすることにしました．体育館には $3$ 本の平行な直線が $1$ メートル間隔で引いてあり，$2$ 人はスタート前に中央の直線上の同じ位置にいて，直線に対して垂直な同じ方向に同時にスタートし，端の直線に到着したら $180^\circ$ 折り返して，もう一方の端にある直線に向かうことを繰り返します．花子さんと太郎さんは常に一定速度で移動し，それぞれ秒速 $\sqrt{2}$ メートル，秒速 $\sqrt{3}$ メートルです．同時にスタートして $10000$ 秒経過するまでに $2$ 人が同じ位置にいる回数を答えてください．ただし，スタート時は含まず，体の大きさは考えないものとします． |
OMCB030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/8519 | G | OMCB030(G) | 300 | 65 | 84 | [
{
"content": " $\\angle{BAM}=\\angle{DAC}$，$\\angle{ABM}=\\angle{ADC}$ により三角形 $ABM$ と三角形 $ADC$ は相似であるから，\r\n$$CM:CD=BM:CD=AM:AC$$\r\nこれと $\\angle{MCD}=\\angle{MAC}$ により三角形 $CMD$ と三角形 $AMC$ は相似になる．ゆえに，\r\n$$ \\angle{ADM}=\\angle{BAD}=\\angle{BCD}$$\r\nであるから，\r\n$$ \\angle{ADC}=\\angle{ADM}+\\angle{MDC}=\\angle{B... | $AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．三角形 $ABC$ の外接円上に $\angle{BAD}=\angle{CAM}$ なる点 $D ~ (\neq A)$ をとったところ，$AB\parallel DM$ が成り立ちました．$AB=113,~ BC=88$ であるとき，辺 $CA$ の長さを求めてください． |
OMCB030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/10590 | H | OMCB030(H) | 400 | 47 | 88 | [
{
"content": " 移り変わるモニターの整数に全て $1$ を足すことを考えると，問題は $N$ を $2N$ または $N+1$ にすることで $1$ を $M+1$ にすることと同じである．それぞれの操作を $A^\\prime ,B^\\prime $ とする．正整数 $N$ に対して $2$ 進数表記での $N$ の桁数を $v(N)$，桁和を $popcount(N)$ と表すと，次が成り立つ．\r\n- 操作 $A^\\prime$ によって $v(N)$ は $1$ 増加し，$popcount(N)$ は不変である．\r\n- 操作 $B^\\prime$ によって $v(N),popcoun... | $1$ つの整数を映すモニターとボタン $A,B$ があります．モニターに整数 $N$ が映されているとき，ボタン $A,B$ を押すことでモニターの整数はそれぞれ $2N+1,N+1$ に変わります．例えばモニターに $3$ が映されているとき，$A,B,A$ の順にボタンを押すことでモニターの数は $3\rightarrow 7\rightarrow 8\rightarrow 17$ と変化します．\
$0$ が映されたモニターに対して，ボタン $A,B$ を合計 $n$ 回押して整数 $M$ が映ったとき，$n$ として考えうる最小値を $f(M)$ とします．次の値を求めてください．
$$f(1)+f(2)+\dots+f({2050})$$ |
OMC237 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc237/tasks/11909 | A | OMC237(A) | 100 | 307 | 322 | [
{
"content": " 右の図には $13$ 個のマスからなるので，L字型のタイルを $4$ つ置くとちょうど一つのマス目にのみL字型のタイルが置かれていないことに気をつけて，次のような場合分けをする．\r\n- 中央のマスにL字型のタイルが置かれないとき，一番上のマスにL字型のタイルを置く方法 $2$ 通りを決めれば残りの L字型のタイルの置き方は一意である．\r\n- 中央のマスにL字型のタイルが置かれるとき，L字型のタイルが置かれないマスは中央のマスと辺も頂点も共有しない端のマスである．一番上のマスにL字型のタイルが置かれないとすると，一番下のマスにL字型のタイルを置く方法 $2$ 通りを決めれば残りのL... | 下図左のような，$3$ つのマスをL字型に並べてできたタイルがあります．このタイル $4$ つを下図右の図形にはみ出し・重なりのないように置く方法は何通りありますか？\
ただし，回転や裏返しによって一致する置き方も区別するものとします．
 |
OMC237 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc237/tasks/11468 | B | OMC237(B) | 200 | 138 | 224 | [
{
"content": " $F(x)=f(x)-2x-1$ とおくと，$F(1)=F(2)=F(3)=0$ なので，ある整数係数多項式 $g(x)$ であって，\r\n$$\r\nf(x)=g(x)(x-1)(x-2)(x-3)+2x+1\r\n$$\r\nを満たすものがとれる．$f(4)=567$ であるから，$g(4)=93$ である．よって，ある整数係数多項式 $h(x)$ であって，\r\n$$\r\ng(x)=h(x)(x-4)+93\r\n$$\r\nを満たすものがとれる．以上より，\r\n$$\r\nf(10)=504g(10)+21=504(6h(10)+93)+21 = 3024h(10)+46... | 整数係数多項式 $f$ が以下を満たします．
$$
f(1)=3, ~ f(2)=5, ~ f(3)=7, ~ f(4)=567
$$
$f(10)$ がとる**正整数値**としてありうるもののうち，小さい方から $5$ 番目の値を求めてください． |
OMC237 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc237/tasks/8454 | C | OMC237(C) | 300 | 130 | 186 | [
{
"content": " 辺$AB, BC, CD, DA$ の中点を $P, Q, R, S$ とする．中点連結定理より\r\n$$PQ \\parallel AC \\parallel SR,\\quad QR \\parallel BD \\parallel PS$$\r\nが成り立つ．さらに，$AC \\perp BD$ であるから四角形 $PQRS$ は長方形であり，特に $PQ=AC\\/2=BD\\/2=QR$ であるから四角形 $PQRS$ は正方形である．\\\r\n ここで対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $M$ とすると，\r\n$$PM = PA = 2, \\quad RM = ... | 凸四角形 $ABCD$ の二本の対角線は長さが等しく，垂直に交わります．
$$AB=4, \quad CD=5, \quad \angle B + \angle C = 120^{\circ}$$
をみたすとき，四角形 $ABCD$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せます．$a+b$ を解答してください． |
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